Έγινε γνωστός από τον Α.Ο. Αμπελοκήπων στον οποίο αγωνιζόταν από 16 ετών. Με προπονητή το Γιώργο Καλαφατάκη και συμπαίκτες το Γιώργο Φλώρο και τον Παναγιώτη Παναγιωταράκο ανέβασαν την ομάδα από τις τοπικές κατηγορίες της ΕΣΚΑ στην ανταγωνιστικότατη Α1 της δεκαετίας του 90'. Ο Τζαννής Σταυρακόπουλος διακρινόταν για τις επιθετικές του ικανότητες και ήταν πλέον ένας από τους πιο δεινούς σκόρερ του πρωταθλήματος. Η τριάδα Σταυρακόπουλος, Φλώρος, Παναγιωταράκος με τους Αμερικάνους Φάντεμπεργκ και Αμάγια συνέθεσαν μια επιθετική ομάδα που προσέφερε θέαμα και χειροκροτήθηκε από τους φιλάθλους.

Το 1995 ο Μπόζινταρ Μάλκοβιτς εισηγήθηκε την αποκτήσή του από τον Παναθηναϊκό και έτσι ο Τζαννής Σταυρακόπουλος κατέκτησε την Ευρωλίγκα το 1996 και στέφθηκε πρωταθλητής Ευρώπης στο φάιναλ φορ του Παρισίου.

Την επόμενη χρονιά αποδεσμεύτηκε από τον ΠΑΟ και αποκτήθηκε από τον Άρη με τον οποίο κατέκτησε το Κύπελλο Κόρατς μέσα στην Τουρκία απέναντι στην Τόφας Μπούρσα.

Τη σεζόν 1997-1998 αγωνίστηκε στη Γαλλία με τη Λε Μαν και μια χρονιά μετά στον Πανιώνιο. Άλλες δυο σεζόν αγωνίστηκε στη Δάφνη και μια στον Ιωνικό Νέας Φιλαδέλφειας. Το 2003 επέστρεψε στον Πανιώνιο. Το 2004 αποκτήθηκε από το Περιστέρι στην Α2 κατηγορία. Στη συνέχεια αγωνίστηκε στην Α΄ΕΣΚΑΝΑ με τον Αίολο και τον Αετό Καλλιθέας.